Dilatação térmica e a relação entre os coeficientes de dilatação

Fala Universo Narrado, beleza? A dilatação térmica ocorre com diversos materiais ao serem submetidos à um aumento de temperatura. Quando aumentamos a temperatura de algum objeto, consequentemente aumentamos a energia das partículas que o compõe. Com isso, a velocidade de suas moléculas e átomos aumenta, assim, esse movimento mais depressa causa um maior afastamento médio entre seus átomos, o que causa um aumento das dimensões desse corpo.

O fenômeno ainda ocorre em casos de resfriamento, porém com o efeito oposto: uma aproximação dos átomos e consequente diminuição das dimensões do corpo.

Aprenderemos nesse texto sobre o fenômeno da dilatação térmica para sólidos (unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais) e líquidos, e também veremos a demonstração matemática para a relação entre os coeficientes de dilatação linear, superficial e volumétrica.

Dilatação térmica linear

Esse tipo de dilatação corresponde ao aumento da extensão em apenas uma dimensão, no comprimento do nosso sólido. Esse tipo de dilatação ocorre por exemplo com o aumento de temperatura nos trilhos de um trem ou de um arame fino. Podemos calcular a variação de comprimento utilizando a seguinte relação:

Onde ΔL corresponde à variação do comprimento, L₀ ao comprimento inicial, α o coeficiente de dilatação linear do sólido (depende da composição do nosso sólido) e ΔT à variação de temperatura sofrida no processo. Essa equação basicamente quer dizer que a variação no comprimento é proporcional ao produto do comprimento inicial e da variação de temperatura, sendo α a constante de proporcionalidade.

Dilatação térmica superficial

Agora, teremos um aumento na área de um sólido, ou seja, ele dilatará em duas dimensões. Um exemplo em que ocorre esse tipo de dilatação é quando esquentamos uma chapa metálica muito fina. A variação da área sofrida pelo sólido pode ser calculada pela relação:

Onde ΔA corresponde à variação da área, A₀ à área inicial, βao coeficiente de dilatação superficial do sólido e ΔT à variação de temperatura sofrida pela chapa no processo.

Existe uma relação linear entre os coeficientes de dilatação linear e superficial, que é a seguinte:

no decorrer do texto, entenderemos matematicamente o motivo disso.

Dilatação térmica volumétrica

Já na dilatação volumétrica, o corpo dilata de forma tridimensional, aumentando o seu volume como um todo. Um exemplo disso é se caso esquentarmos uma bolinha de gude. A variação de volume sofrida por nossa bolinha pode ser calculada com a seguinte expressão:

Onde ΔV corresponde à variação do volume, V₀ ao volume inicial da bolinha, γ ao coeficiente de dilatação volumétrica do sólido e ΔT à variação de temperatura imposta no experimento.

Também existe uma relação linear entre os coeficientes de dilatação linear e volumétrica, havendo apenas uma diferença da última apresentada, e é a seguinte:

que também será demonstrada em breve no decorrer do texto.

Representação visual de uma dilatação térmica volumétrica.

De modo geral, você deve ter percebido que as fórmulas se parecem bastante entre si, seguem o mesmo princípio: a variação nas dimensões é diretamente proporcional ao produto do valor inicial destas pela variação de temperatura.

Dilatação de Líquidos

Os líquidos também podem sofrer dilatação térmica quando aquecidos. Porém, para manusear um líquido precisamos de um recipiente, e assim, ambos dilatam quando o sistema tem a sua temperatura elevada.

O tipo de dilatação sofrida pelos líquidos é a dilatação volumétrica e pode ser calculada com a expressão apresentada no item anterior.

Como dito anteriormente, o recipiente em que o líquido se encontra também dilata, podendo dilatar mais ou menos do que o líquido encontrado nele (isso depende dos valores do coeficiente de dilatação volumétrica do recipiente e do líquido), causando efeitos que podem influenciar nas medidas reais de dilatação do líquido.

Vamos utilizar um exemplo para facilitar isso: imaginemos um bécker graduado de 500ml de volume, com 500ml de água contidos em seu interior. Ao elevarmos a temperatura desse sistema, o bécker dilata em 50ml e a água dilata em 200ml, vazando 150ml do bécker. Então, afirmaríamos de forma errada que a água dilatou somente 150ml (dilatação aparente), sem considerar a dilatação do bécker. Portanto, realmente devemos considerar também a dilatação do recipiente afim de encontrar o valor da dilatação real sofrida pelo nosso líquido. Há uma expressão que associa esses valores:

Desenvolvendo-a chegamos em:

Simplificando (cancelando os termos V₀ e ΔT dos dois lados), temos:

Uma relação entre os coeficientes de dilatação volumétrica que pode vir a ser útil.

Demonstração matemática da relação entre os coeficientes de dilatação

Relação entre o coeficiente de dilatação linear e o coeficiente de dilatação superficial:

Adotando uma chapa metálica quadrada (de área inicial A₀ = L₀²), podemos interpretar sua dilatação superficial como uma dilatação tanto em comprimento quanto em largura, portanto a sua área após a dilatação pode ser calculada como:

Relembrando que calculamos ΔL = L₀ α ΔT, então podemos substituir na equação acima:

Desenvolvendo o produto notável, obtemos:

Como representado previamente A₀ = L₀², então:

A= A0 + 2A0 alpha deltaT + A0 alpha2 delta T2

Como os coeficientes de dilatação linear α apresentarem valores muito pequenos (da ordem de 10^-6 ), o termo que acompanha α² é muito pequeno e pode ser desprezado, resultando em:

Onde o termo A – A₀ corresponde justamente à variação de área do nosso sólido, então:

Daí concluímos que a área dilata de acordo com o dobro do coeficiente α, e tratamos esse valor como 2α = β, portanto:

Relação entre o coeficiente de dilatação linear e o coeficiente de dilatação volumétrica:

Analogamente, adotamos agora um cubo metálico de volume inicial V₀ = L₀³, podemos interpretar sua dilatação volumétrica como uma dilatação em suas três dimensões lineares (comprimento, largura e profundidade), portanto:

V = (L0+Delta L) * (L0 + Delta L) * (L0 + delta L)

Substituindo a relação conhecida para ΔL, temos:

V = (L0 + L0 alpha delta T) elevado ao 3

Desenvolvendo esse produto notável, temos:

V = L_0^3 + 3L_0L_0^2\alpha^2\Delta T^2 + 3L_0^2L_0\alpha\Delta T+L_0^3\alpha^3\Delta T^3

Que se reduz à:

V = L_0^3 + 3L_0^3\alpha^2\Delta T^2 + 3L_0^3\alpha\Delta T+L_0^3\alpha^3\Delta T^3

Como L₀³ = V₀, temos:

V = V_0 + 3V_0\alpha^2\Delta T^2 + 3V_0\alpha\Delta T+V_0\alpha^3\Delta T^3

Desprezando os termos que contém α²e α³ por conta do motivo já citado, temos:

Manipulando um pouco a equação:

O termo V – V₀ corresponde justamente à variação de volume sofrida por nosso cubo, então:

A partir dessa equação, vemos que o cubo dilata volumetricamente seguindo o coeficiente 3α, o qual damos o nome de γ (gamma). Assim, concluímos que:

Então, chegamos na conhecida fórmula:

Sendo assim, podemos concluir sobre a importância do estudo da dilatação térmica e suas aplicações.

Esse fenômeno é considerado em diversas situações do nosso cotidiano, como por exemplo na construção de ferrovias para que não haja problemas com descarrilhamento de trens e na construção de viadutos e pontes para que não aconteçam rachaduras em suas estruturas.