Fala Universo Narrado, beleza? Vamos tratar nesse texto o funcionamento de alguns importantes fenômenos ópticos observados no estudo da luz. Dentre eles, teremos: reflexão, refração e absorção. Também será demonstrado matematicamente dois princípios importantíssimos dentro do campo de estudo da óptica.
A luz pode ser interpretada tanto como partícula (fótons), quanto como onda eletromagnética. Por isso, durante esse texto a trataremos majoritariamente como onda. Algo necessário para esse estudos é o chamado Princípio de Fermat.
Também chamado de princípio do tempo mínimo, foi elaborado pelo cientista Pierre de Fermat e tem o seguinte enunciado: a luz sempre procura o trajeto que levará menos tempo para percorrer uma trajetória retilínea de um ponto à outro em um mesmo meio homogêneo. A partir disso foi possível formular outras leis e princípios importantíssimos para o estudo dos raios de luz.
Vamos lá?
Reflexão da Luz
A reflexão da luz é um fenômeno óptico e também ondulatório (todas as ondas podem sofrer reflexão) que consiste na mudança de direção da propagação do raio de luz após a incidência em uma superfície refletora.
Nós seres humanos enxergamos diversos objetos que não emitem luz própria por conta desse fenômeno, a luz incide neles e reflete até nossos olhos, formando a imagem que enxergamos. O motivo disso ocorre em nível microscópico, devido à átomos que não são capazes de absorver determinados comprimentos de onda da luz, os refletindo de volta para o meio externo. Existem dois tipos de reflexão:
Reflexão regular
Esse tipo de reflexão ocorre quando a luz incide em uma superfície capaz de fornecer imagens com muita clareza, por exemplo um espelho. Isso ocorre por conta da Lei da Reflexão, que afirma o seguinte: os ângulos de incidência e de reflexão, em relação à reta normal a superfície do raio de luz são iguais, e estão contidos no mesmo plano.
Reflexão difusa
Já nesse tipo de reflexão, a luz incide e reflete com ângulos completamente diferentes e, por isso, não conseguimos observar imagens perfeitas formadas no processo. Ocorre em superfícies ásperas e com muitas imperfeições.
Refração da Luz
A refração é um fenômeno que ocorre com as ondas eletromagnéticas ao serem transmitidas entre dois meios transparentes distintos. Nesse processo, a luz tem a sua velocidade de propagação alterada entre os dois meios, podendo ficar mais rápida ou mais devagar. Isso depende do que chamamos de índice de refração absoluto do meio, que é definido como:
Sendo c a velocidade da luz no vácuo e v a velocidade da luz no meio considerado. Abaixo segue alguns valores de índice de refração a depender do material:
Além da mudança de sua velocidade de propagação, o raio luminoso também tem a sua trajetória desviada (caso incida com algum ângulo entre 0 e 90º) ao cruzar a divisão de um meio com o outro, resultando na clássica imagem do fenômeno da refração:
Uma importante formulação matemática desse fenômeno se trata da Lei de Snell-Descartes, que enuncia o seguinte:
Onde n1 corresponde ao índice de refração do meio 1, θi ao ângulo que o raio incidente faz com a reta normal, n2 ao índice de refração do segundo meio e θr ao ângulo que o raio refratado faz com a reta normal.
Absorção da luz
A absorção da luz consiste em um processo cujo uma parcela da energia que o raio luminoso carrega fique retida em um corpo constituído de um material qualquer. Isso ocorre por conta dos elétrons do corpo absorverem certas frequências de luz, caso eles vibrem com frequências próximas à essas.
Após a absorção dessa energia, os elétrons se excitam mais, se movendo com uma maior velocidade e consequentemente aumentando a temperatura do meio (podemos perceber isso quando utilizamos uma camiseta escura no calor, ela esquenta muito mais que uma camiseta branca).
As frequências não absorvidas pelo corpo são responsáveis por dar cor ao objeto, pois serão refletidas novamente ao meio externo, então ao enxergarmos um corpo na cor verde significa que ele absorve todas as outras frequências da luz, menos a responsável pela cor verde!
Demonstrações
Agora que entendemos o conceito, vamos para a parte prática das leis que movem esses conceitos?
Lei da reflexão
Como dito anteriormente essa lei afirma que o raio de luz incidente, a reta normal ao espelho e o raio de luz refletido se encontram no mesmo plano, e além disso, que o ângulo de incidência do raio é igual ao ângulo de reflexão desse mesmo raio (ambos os ângulos formados com a reta normal).
Antes de iniciar a nossa demonstração, vale notar que há dois triângulos retângulos na nossa figura, e é possível calcular o valor de suas hipotenusas a partir do Teorema de Pitágoras, encontrando os seguintes valores:
Para o triângulo de altura a, e:
Para o triângulo de altura b. Com esses valores em mãos, que são as distâncias percorridas por cada raio de luz, é razoável de se calcular o tempo total para que o raio de luz saia do ponto A e atinja o ponto B. Pelo Princípio de Fermat, esse tempo deve ser o menor possível, e portanto isso deve ser assumido nas contas.
Como não há mudança de meio no processo, a velocidade do raio de luz não se altera, então calculamos o tempo gasto para o trajeto completo a partir das expressões de um movimento retilíneo uniforme.
Para o raio incidente:
Para o raio refletido:
Somando esses dois tempos para encontrar o tempo total gasto pelo raio de luz para sair de A e atingir B:
Colocando o termo 1/v em evidência, por ser um fator comum:
Agora que foi encontrado o tempo total gasto no movimento, deve-se minimizar esse valor a fim de respeitar o Princípio de Fermat. O método matemático utilizado para isso consiste em igualar a derivada da função (dT/dX) a 0, (a taxa de variação instantânea da função), algo que só é visto em detalhes no ensino superior, então não se preocupe com isso nesse momento.
Ademais, minimizações e maximizações costumam ser vistas no ensino médio quando estudamos, por exemplo, um movimento retilíneo uniformemente variado e assume-se que no vértice da parábola do gráfico, a velocidade é nula (no ponto de máximo ou de mínimo da função horária da posição, a sua derivada, que é a velocidade, é nula). As contas seguem dessa forma:
Novamente, reiteramos que não precisa compreender os detalhes desse cálculo, apenas acompanhar o que estamos fazendo. Portanto, assumimos apenas o seu resultado para o prosseguimento das contas. Derivando em relação à x, obtém-se:
Como o termo 1/V é diferente de 0, então o único termo que pode ser nulo é o que está entre os colchetes. Portanto:
Simplificando:
Igualando os dois termos:
Agora, analisando essa expressão e a imagem do início (utilizando os ângulos alternos internos dos apresentados), é razoável de se perceber que:
e
Portando:
Como evidentemente ambos os ângulos são agudos (entre 0 e 90º) ou no máximo ângulos retos (90º), então pode se concluir que:
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Vamos para a próxima lei?
Lei de Snell-Descartes
Como já foi visto previamente no texto, essa lei física nos diz que o raio de luz incidente, a reta normal à superfície dos meios e o raio de luz refratado estão no mesmo plano. E além disso, vale a relação:
Para isso, usamos a mesma estratégia apresentada na demonstração da Lei da Reflexão, afim de respeitar o Princípio de Fermat.
Calculando as hipotenusas dos dois triângulos retângulos na figura, que correspondem ao valor da distância percorrida pelos dois raios de luz:
Para o triângulo de altura a, e:
Para o triângulo de altura b. Esses valores devem ser utilizados para calcular o intervalo de tempo total gasto pelos raios para um deles partir do ponto A e o outro atingir o ponto B, como feito anteriormente. Mas agora, temos velocidades diferentes para cada raio de luz, visto que ocorre o fenômeno da refração quando o raio de luz muda de meio.
Sendo assim, para o raio incidente:
E para o raio refratado:
Somando os intervalos de tempo:
Respeitando o princípio de Fermat:
Cujo valor da expressão após a realização da derivada é:
Simplificando:
Igualando os dois termos:
Da figura ao analisar o valor do seno dos ângulos, têm-se
E
Então:
Partindo da definição de índice de refração absoluto do meio, que é:
Conclui-se que:
Portanto, pode-se realizar essa substituição na expressão:
Multiplicando toda a equação por c :
Os fenômenos apresentados são observados diariamente por nós em qualquer momento do dia, como por exemplo ao enxergar a nossa imagem no espelho do banheiro ao escovar os dentes, ou enxergar a coloração de um objeto qualquer. Entender a física e os modelos matemáticos que regem o nosso cotidiano é extremamente gratificante e nos mostra o quão belo é o universo que vivemos.
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Assista o vídeo abaixo para colocar em prática o seu conhecimento :
