Salve! Tudo bem por aí? Hoje eu quero te contar sobre a Sequência de Fibonacci na natureza. Você já viu por aí imagens como as abaixo? Muitas vezes vêm acompanhadas de textos que falam sobre como a Matemática se manifesta na natureza. Mas, se você nunca nem ouviu falar sobre Sequência de Fibonacci, fique tranquilo!
Eu vou explicar tudo desde o início.
O que é a Sequência de Fibonacci?
É uma sequência de números que recebe esse nome em homenagem ao matemático italiano Leonardo Fibonacci, você pode ver uma foto dele abaixo. Apesar de receber esse nome, a sequência não foi inventada (ou descoberta?) pelo Fibonacci.
Ela recebe esse nome pois foi ele que propôs, em seu livro Liber Abaci (1202), um problema fictício sobre a reprodução de coelhos (que nada tem a ver com a real reprodução dos coelhos) cuja resposta era a sequência.
Os dois primeiros termos da sequência são 0 e 1. A partir do terceiro, deve-se somar os dois anteriores para obter novos termos. Veja alguns termos: (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …).
Agora que você sabe como ela é formada, tente calcular os próximos 3 números da sequência! Um termo qualquer da sequência é representado como Fn.
Tem outra forma de calcular os termos da sequência?
Essa é uma dúvida que algumas pessoas geralmente tem, já que do jeito mostrado acima só é possível calcular termos consecutivos. E a resposta para essa pergunta é: sim!
Como um número qualquer da sequência é igual à soma dos dois anteriores, podemos equacionar isso da seguinte forma: Fn = Fn-1 + Fn-2. Isso é chamado de relação de recorrência, já que cada elemento recorre a elementos anteriores.
Resolvendo essa relação de recorrência pelo método da Equação Característica (a explicação de como resolver relações de recorrência fica para outro texto), encontramos que um termo qualquer pode ser calculado da seguinte forma:
Essa fórmula pode parecer extremamente estranha, já que a sequência tem apenas números inteiros, mas essas raízes acabam se cancelando no meio dos cálculos.
Razão áurea e a Sequência de Fibonacci
Uma divisão é dita “ideal” se o todo estiver para a parte maior assim como a parte maior deve estar para a parte menor. Também pode-se dizer que a divisão é feita em média e extrema razão. Talvez você não tenha entendido nada do que eu falei, mas não tem problema, essa definição é bem confusa mesmo. Vou explicar de um jeito mais fácil. Observe a imagem abaixo, em que a = b + c.
A tal divisão ideal acontece se a/b = b/c. Nós ainda podemos escrever isso como b2 = ac.
O resultado das divisões acima é representado por Φ — essa é a letra grega phi, se diz “fi”. Esse número é muito usado em arquitetura e belas-artes desde a antiguidade. Ele é chamado de razão áurea.
A razão áurea também pode ser obtida a partir da solução positiva da equação x² – x – 1 = 0. Você pode tentar calcular. Use a fórmula de Bháskara, ou fatoração em produtos notáveis, ou algum outro método que conhecer ou preferir. O resultado é aproximadamente 1,618. Ou, exatamente:
Ao se dividir termos consecutivos da sequência de Fibonacci, quanto maiores os termos, mais o resultado se aproxima da razão áurea. O cálculo é esse aqui:
Ao se dividir termos consecutivos da sequência de Fibonacci, quanto maiores os termos, mais o resultado se aproxima da razão áurea. O cálculo é esse aqui:
São essas duas coisas juntas que formam a espiral que está nas fotos do início. São quadrados cujo lado tem medida igual aos termos da sequência de Fibonacci, e arcos de circunferências conectando os vértices desses quadrados de um modo muito específico. Veja só:
“Mas aquelas fotos são verdade, né?”
Esse é o momento em que muitas pessoas se frustram. Há várias pessoas que ficam disseminando conteúdo sobre como a espiral de Fibonacci “está em tudo”. E quase que a totalidade dessas coisas são invenção. São imagens cujas proporções são alteradas para encaixar na espiral.
O homem vitruviano, por exemplo, é um caso que muitos costumam relacionar com a proporção áurea. Mas na realidade não tem nada a ver. As proporções foram retiradas do livro “De architectura”, de Vitrúvio (daí o nome), e seguem outros valores.
Entretanto, algumas coisas na natureza realmente seguem o padrão da razão áurea, mas são as exceções, como o crescimento dos gomos de um abacaxi.
Quando fazemos a divisão entre o número de abelhas fêmeas e machos de uma colmeia, o resultado também é a razão áurea. Isso acontece por causa do padrão de reprodução das abelhas: a abelha-rainha rejeita alguns ovos de modo a gerar a proporção.
E sobre as imagens mostradas no início, bom, nenhuma delas é “verdade”.
Então, o que é verdade?
A maioria das coisas que relacionam a razão áurea são objetos matemáticos, ou coisas obtidas propositalmente por pessoas.
Na matemática isso aparece no Triângulo de Pascal, e na razão entre os segmentos formados pelas diagonais de um pentágono regular, por exemplo.
Em belas-artes, muitas pessoas colocam a proporção em pinturas, comprimento dos versos e estrofes de poemas, artes digitais, esculturas e projetos de arquitetura, ou outras coisas que exijam a criatividade do artista.
Sendo assim, se encontrar algo na natureza que lembre a espiral de Fibonacci, duvide! Muito provavelmente só é parecido e não segue a proporção de fato. Pesquise em várias fontes confiáveis se realmente é verdade ou não. Porém, se for algo matemático ou feito pelo ser humano que lembrar a sequência, provavelmente é verdade sim. Se tiver a oportunidade de perguntar à quem fez a obra, ou a alguém que entende muito do assunto, faça sem pensar duas vezes. Mas caso não tenha essa oportunidade, alimente sua criatividade e tente verificar se realmente a sequência está presente ali ou não!
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