Vetores: soma e Lei dos Cossenos aplicada a essa função

Fala Universo Narrado, beleza? O uso de vetores é essencial em diversas áreas do conhecimento como a física e engenharia. Por isso, hoje vamos estudar alguns temas sobre vetores, explorando a sua definição e como são realizadas as operações matemáticas com eles. Vamos fugir um pouco das habituais operações realizadas com grandezas puramente numéricas (escalares). Teremos também uma discussão sobre uma mudança de sinal que ocorre na Lei dos Cossenos quando a utilizamos para o processo de soma desses entes matemáticos.

Vamos lá?

O que são vetores?

etores são segmentos de reta orientados, dotados de três características: módulo (intensidade), direção (extensão da reta) e sentido (para onde aponta a seta). Eles são utilizados para representar grandezas vetoriais (grandezas físicas que necessitam ser descritas por elementos além de números e unidades de medida), por exemplo, força e velocidade.

Imaginemos a seguinte situação: quando puxamos ou empurramos algo que está inicialmente em repouso, fazemos uma força que possui uma certa intensidade e um sentido para o qual será direcionado o movimento no corpo.

Vetores unitários

Vetores unitários, também chamados de versores, são vetores que apresentam módulo igual à 1. Eles normalmente são indicados com a presença de um circunflexo “^” sobre seus nomes:

Note que dividimos um vetor qualquer u^→ pelo seu módulo u, resultando em um vetor de módulo 1 com direção e sentido de u^→ (aqui está englobada a operação de multiplicar um vetor por um escalar positivo, cuja implicação é simplesmente mudar o tamanho do vetor).

Eles são muito utilizados para facilitar na explicitação da direção de um determinado vetor, visto que é possível escrever qualquer vetor em termos de seu versor, ou de versores em direções conhecidas (normalmente as direções cartesianas x, y e z, cujos respectivos versores são denotados normalmente por î, ĵ e k^{^}.

Soma de vetores

A soma de vetores não ocorre como uma soma comum onde apenas adicionamos um valor ao outro. Temos de considerar também a direção e o sentido deles, e podemos somá-los de diversas formas, sejam elas gráficas (a partir das regras que serão apresentadas abaixo) ou a partir de suas componentes ortogonais.

Regra do polígono

Para a realização da soma de vetores utilizando essa regra, devemos posicionar nossos vetores de uma forma específica, coincidindo a extremidade (ponta que contém a seta) de um com a origem (início) do outro, e no final de tudo, acrescentamos um novo vetor, que será o resultado da soma, partindo da origem do nosso primeiro vetor e terminando na extremidade do último.

O vetor S^→ corresponde à:

Regra do Paralelogramo

Essa regra é útil para a soma de dois vetores. Nós os posicionamos coincidindo origem com origem, traçamos segmentos de reta paralelos aos dois partindo da extremidade de cada um dos vetores e por fim traçamos um vetor resultante partindo da origem dos dois vetores a serem somados e terminando no encontro dos segmentos de reta traçados.

O vetor R^→ corresponde à:

Poligonal fechada

Quando encontramos vetores respeitando a regra do polígono e formando uma figura geométrica fechada, podemos afirmar que a soma de todos os vetores que compõe o polígono resulta no vetor nulo (afinal, o vetor resultante sendo dado pela conexão da origem do primeiro vetor a ser somado e o último é simplesmente um ponto — vetor nulo).

Portanto:

Decomposição de vetores

Nem sempre os vetores a serem estudados terão direção vertical ou horizontal, afinal eles podem ter qualquer direção no espaço. Porém, não é muito fácil fazer cálculos com vetores em direções arbitrárias, então é muito comum que façamos uma decomposição dos vetores nos eixos ortogonais conhecidos. Por exemplo, temos um vetor que forma um ângulo β com a direção horizontal e queremos decompô-lo nas direções x e y:

Isso é válido porque podemos escrever o vetor F^→ como a seguinte soma vetorial:

o que pode ser melhor entendido recordando-se da regra do paralelogramo que foi apresentada há pouco no texto. Podemos escrever as componentes do vetor em termos de sin (β) e cos (β) a partir das definições dessas funções trigonométricas em triângulos retângulos:

onde co é o cateto oposto e H é a hipotenusa. Portanto:

Também:

E ca é o caceto adjacente. Sendo assim:

Soma utilizando vetores

Podemos também somar vetores utilizando os vetores unitários apresentados. Para isso, devemos decompor nosso vetor nas direções ortogonais conhecidas (utilizando o método de decomposição de vetores) e escrever nosso vetor em função dos versores das direções ortogonais cartesianas. Por exemplo:

cada quadrado equivale à uma unidade, portanto, podemos escrever q e w em função de î e ĵ da seguinte forma:

Portanto, o valor resultante da soma será:

Ou seja:

Se você ficou com alguma dúvida, clique aqui e assista a minha aula completa sobre soma de vetores.

Agora, vamos entender o motivo pelo qual a soma de vetores passa a ter um sinal positivo quando usamos a Lei dos Cossenos.

Porque quando usamos a Lei dos Cossenos para a soma de vetores passa a ter um sinal positivo?

Quando é realizada uma soma entre dois vetores que possuem um determinado ângulo entre si, é utilizada a Lei dos Cossenos para o cálculo do módulo do vetor resultante. Ela é, normalmente, a melhor opção uma vez que ela permite relacionar dois lados de um triângulo, o ângulo formado entre eles e o terceiro lado a ser descoberto.

Porém, se esse raciocínio for utilizado para a finalidade citada, nota-se uma pequena modificação na nossa operação. O motivo disso é puramente trigonométrico e pode ser explicado a partir dos seguintes esquemas:

notemos que o ângulo formado entre os vetores, que normalmente é o ângulo conhecido por nós vale θ, porém eles não estão posicionados corretamente de modo a usarmos a lei dos cossenos. Caso os arranjemos corretamente, obteremos:

cujo ângulo agora de interesse vale α. Agora, podemos utilizar a lei dos cossenos para descobrir o módulo do vetor c^→, então:

Porém, como dito anteriormente, normalmente o ângulo conhecido é θ (ângulo entre os vetores quando estão com as origens unidas). Para escrevermos a lei dos cossenos em termos de θ devemos encontrar alguma relação entre ele e o ângulo α. É possível visualizar isso prolongando-se o vetor a^→:

Portanto:

Utilizando o conhecimento do ciclo trigonométrico, sabemos que se θ = 180º – α, então:

Assim, substituindo o valor de cos(α) na expressão da lei dos cossenos obtemos:

Resultando em:

Fazendo aparecer um sinal positivo na expressão quando consideramos o ângulo formado entre os dois vetores!

Esperamos que agora você consiga visualizar melhor algumas operações que às vezes podem ser um pouco confusas. Percebemos o tamanho da importância do domínio das operações com vetores, visto que diversas outras grandezas físicas (aceleração, torque, momento angular) também são representadas dessa forma e regem diversos processos importantíssimos da natureza que nos cerca.

Se você ainda se sente um pouco perdido quanto a soma utilizando a Lei dos cossenos, assista ao vídeo abaixo que com certeza vai te ajudar!